Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前10項(xiàng)和S₁₀=100；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式； 
（2）設(shè)log₂b_n=a_n，證明{b_n}為等比數(shù)列，并求{b_n}的前四項(xiàng)之和．
（3）設(shè)c_n=b_n+a_n，求{c_n}的前五項(xiàng)之和．

Answer 1

分析：（1）有S₁₀=100求出公差d，再代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（2）先由（1）的結(jié)論，求出{b_n}的通項(xiàng)公式，然后再看是否滿足等比數(shù)列的定義即可，進(jìn)而求得{b_n}的通項(xiàng)公式，從而可求{b_n}的前四項(xiàng)之和；
（3）根據(jù)c_n=b_n+a_n，分別求出數(shù)列{c_n}的前五項(xiàng)，再求和即可．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₁₀=100，得10×1+

10×9

2

d=100，解得d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N₊）；
（2）∵a_n=log₂b_n?b_n=2an=2^2n-1．
∴b₁=2，

bn+1

bn

=

22(n+1)-1

22n-1

=4，
∴{b_n}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．
b_n=2x4^n-1，b₁+b₂+b₃+b₄=2+8+32+128=170，
（3）c_n=b_n+a_n=2n-1+2x4^n-1，
∴{c_n}的前五項(xiàng)之和為1+3+5+7+9+170+2x256=707．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合考查．在利用通項(xiàng)公式判斷一個(gè)數(shù)列是不是等比數(shù)列時(shí)，通常是利用等比數(shù)列的定義，以及分組求和，同時(shí)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題．