Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（a+1）x+alnx+1
（Ⅰ）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）的極大值；
（Ⅱ）求a的范圍，使得f（x）≥1恒成立．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由于x=3是f（x）的極值點，則f′（3）=0求出a，進而求出f′（x）＞0得到函數(shù)的增區(qū)間，求出f′（x）＜0得到函數(shù)的減區(qū)間，即可得到函數(shù)的極大值；
（Ⅱ）由于f（x）≥1恒成立，即x＞0時，

1

2

x2-(a+1)x+alnx≥0恒成立，設g(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx，則g′(x)=x-(a+1)+

a

x

=

(x-1)(x-a)

x

分類討論參數(shù)a，得到函數(shù)g（x）的最小值≥0，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）f′(x)=x-(a+1)+

a

x

∵x=3是f（x）的極值點，∴f′(3)=3-(a+1)+

a

3

=0，解得a=3
當a=3時，f′(x)=

x2-4x+3

x

=

(x-1)(x-3)

x

，
當x變化時，

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

f（x）的極大值為f(1)=-

5

2

；
（2）要使得f（x）≥1恒成立，即x＞0時，

1

2

x2-(a+1)x+alnx≥0恒成立，
設g(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx，則g′(x)=x-(a+1)+

a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，
（ⅰ）當a≤0時，由g′（x）＜0得單減區(qū)間為（0，1），由g′（x）＞0得單增區(qū)間為（1，+∞），
故g(x)min=g(1)=-a-

1

2

≥0，得a≤-

1

2

；
（ ii）當0＜a＜1時，由g′（x）＜0得單減區(qū)間為（a，1），由g′（x）＞0得單增區(qū)間為（0，a），（1，+∞），
此時g(1)=-a-

1

2

＜0，∴不合題意；
（ iii）當a=1時，f（x）在（0，+∞）上單增，此時g(1)=-a-

1

2

＜0，∴不合題意；
（ iv）當a＞1時，由g′（x）＜0得單減區(qū)間為（1，a），由g′（x）＞0得單增區(qū)間為（0，1），（a，+∞），
此時g(1)=-a-

1

2

＜0，∴不合題意．
綜上所述：a≤-

1

2

時，f（x）≥1恒成立．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及函數(shù)恒成立時所取的條件．考查考生的運算、推導、判斷能力．