已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，a+b=3．
（1）求橢圓C的方程．
（2）設(shè)A、B是橢圓C的上、下頂點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，記直線PA的斜率為k，PB的斜率為m，求證：mk是定值．
（3）在（2）的條件下，直線PA、直線PB分別交直線y=-2于點(diǎn)N、M，P到Y(jié)=-2的距離為d，求
|MN|
d
的最小值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由已知條件推出
c
a
=
3
2
a+b=3
，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由已知條件得A（0，1），B（0，-1），設(shè)P（x0，y0），則y02-1=-
x02
4
，由k =
y0-1
x0
，m=
y0+1
x0
，能求出mk是定值-
1
4
．
（3）直線PA：y=kx+1，交直線y=-2于N（-
3
k
，0），直線PB：y=mx-1，交直線y=-2于M（-
1
m
，0），P到y(tǒng)=-2的距離d=
y0+2
2
，由此能求出
|MN|
d
的最小值．
解答： （1）解：∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，a+b=3，
∴
c
a
=
3
2
a+b=3
，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1．
（2）證明：∵A、B是橢圓C
x2
4
+y2=1的上、下頂點(diǎn)，
∴A（0，1），B（0，-1），
設(shè)P（x0，y0），則
x02
4
+y02=1，∴y02-1=-
x02
4
，
由k =
y0-1
x0
，m=
y0+1
x0
，
得km=
y0-1
x0
•
y0+1
x0
=
y02-1
x02
=
-
x02
4
x02
=-
1
4
，
∴mk是定值-
1
4
．
（3）解：直線PA：y=kx+1，交直線y=-2于N（-
3
k
，0），
直線PB：y=mx-1，交直線y=-2于M（-
1
m
，0），
∴|MN|=-
3
k
+
1
m
=
k-3m
mk
=4（3m-k）
=4[
3(y0+1)
x0
-
y0-1
x0
]=
8(y0+2)
x0
．
P到y(tǒng)=-2的距離d=
|y0+2|
2
=
y0+2
2
，
∴
|MN|
d
=
8(y0+2)
x0
y0+2
2
=
8
2
x0
≥
8
2
2
=4
2
．
∴
|MN|
d
的最小值為4
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的乘積是定值的證明，考查兩線段比值為緊小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的定義域和值域都是[-1，1]（其圖象如圖所示），函數(shù)g（x）=sinx，x∈[-π，π]．定義：當(dāng)f（x1）=0（x1∈[-1，1]）且g（x2）=x1（x2∈[-π，π]）時(shí)，稱x2是方程f（g（x））=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根．則方程f（g（x））=0的所有不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（　�。�
A、2B、4C、6D、8

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，a1=3，其前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b1=1，公比為q，且b2+S2=12，q=
S2
b2

（Ⅰ）求an與bn；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=
1
Sn
，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上．又知此拋物線上一點(diǎn)A（1，m）到焦點(diǎn)的距離為3．
（Ⅰ）求此拋物線的方程；
（Ⅱ）若此拋物線方程與直線y=kx-2相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知p：直線x-2y+3=0與拋物線y2=ax（a＞0）沒(méi)有交點(diǎn)；q：方程
x2
4-a
+
y2
a-1
=1表示橢圓；若p∧q為真命題，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC的面積為S，且|
BC
|2=
CA
•
CB
+2S．
（1）求B的大��；
（2）若S=
1
2
，且|
BC
-
BA
|=1，試求△ABC最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某學(xué)校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：
（1）求分?jǐn)?shù)在[120，130）內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖（直接畫(huà)在圖形上）；
（2）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系，an+1=
2an2+3an+m
an+1
（n∈N*），又a1=1．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求證數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；
（2）當(dāng)m在什么范圍取值時(shí)，能使數(shù)列{an}滿足不等式an+1≥an恒成立？
（3）當(dāng)-3≤m＜1時(shí)，證明：
1
a1+1
+
1
a2+1
+…+
1
an+1
≥1-
1
2n
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

討論直線l：y=kx+1與雙曲線C：x2-y2=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案