Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，記A（n）=a₁+a₂+……+a_n，B（n）=a₂+a₃+……+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+……+a_n+2，n=1,2，……

（1）   若a₁=1，a₂=5，且對任意n∈N﹡，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列{ a_n }的通項公式.

（2）   證明：數(shù)列{ a_n }是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）證明略

【解析】

解（１）對任意,三個數(shù)是等差數(shù)列，所以即亦即

故數(shù)列是首項為１，公差為４的等差數(shù)列.于是

（Ⅱ）（１）必要性：若數(shù)列是公比為ｑ的等比數(shù)列，則對任意，有

由知，均大于０，于是

即＝＝，所以三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.

（２）充分性：若對于任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，

則，

于是得即

由有即，從而.

因為，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N﹡，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.

【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證.