Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)f（x）=2^x-1的圖象上，則數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和T_n=

2-

1

2 n-1

．

Answer 1

分析：由點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)f（x）=2^x-1的圖象上，知Sn=2n-1，解得an=2n-1，所以

1

an

=

1

2 n-1

=2^1-n，由此能求出數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和．

解答：解：∵點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)f（x）=2^x-1的圖象上，
∴Sn=2n-1，
∴a₁=S₁=2-1=1，
a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，2^n-1=2⁰=1=a₁，
∴an=2n-1，
∴

1

an

=

1

2 n-1

=2^1-n，
∴{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和T_n=

1×(1- 1 2 n )

1- 1 2

=2-

1

2 n-1

．
故答案為：2-

1

2 n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．