【題目】設(shè)橢圓，點(diǎn)為其右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)，.

（1）當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；

（2）如圖1，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，求證：點(diǎn)，，共線；

（3）如圖2，點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，求證，，成等差數(shù)列.

【答案】（1）； （2）見解析； （3）見解析.

【解析】

（1）設(shè)出中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)得到點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡得到點(diǎn)的軌跡方程.（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，代入橢圓橢圓方程化簡后寫出韋達(dá)定理，計(jì)算，由此證得點(diǎn)，，共線. 當(dāng)斜率不存在時(shí)，由橢圓對(duì)稱性,易得結(jié)論成立.（3）設(shè)出的坐標(biāo)，利用（2）的結(jié)果化簡的表達(dá)式，化簡得到結(jié)果為，由此證得，，成等差數(shù)列.

（1），設(shè)，則，在橢圓上，所以所求軌跡方程為.

（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，，

將代入橢圓方程并化簡得

其中，

所以，點(diǎn)，，共線，

而當(dāng)斜率不存在時(shí)，由橢圓對(duì)稱性，，重合，結(jié)論顯然成立，綜上點(diǎn)，，共線；

（3）設(shè)，

由（2）知，

故，，成等差數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某蔬果經(jīng)銷商銷售某種蔬果，售價(jià)為每公斤25元，成本為每公斤15元.銷售宗旨是當(dāng)天進(jìn)貨當(dāng)天銷售.如果當(dāng)天賣不出去，未售出的全部降價(jià)以每公斤10元處理完.根據(jù)以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算該種蔬果日需求量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；

（2）該經(jīng)銷商某天購進(jìn)了250公斤這種蔬果，假設(shè)當(dāng)天的需求量為公斤，利潤為元.求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合頻率分布直方圖估計(jì)利潤不小于1750元的概率.

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【題目】如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，平面平面，，為的中點(diǎn)，在棱上，且.

（1）求證：平面；

（2）若為的中點(diǎn)，問上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，說明點(diǎn)的位置；若不存在，試說明理由.

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【題目】某�！傲柙票被@球隊(duì)的成員來自學(xué)校高一、高二共10個(gè)班的12位同學(xué)，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班級(jí)各出1人，這12人中要選6人為主力隊(duì)員，則這6人來自不同的班級(jí)的概率為_____．

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【題目】現(xiàn)有一長為100碼，寬為80碼，球門寬為8碼的矩形足球運(yùn)動(dòng)場地，如圖所示，其中是足球場地邊線所在的直線，球門處于所在直線的正中間位置，足球運(yùn)動(dòng)員（將其看做點(diǎn)）在運(yùn)動(dòng)場上觀察球門的角稱為視角．

（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員帶球沿著邊線奔跑時(shí)，設(shè)到底線的距離為碼，試求當(dāng)為何值時(shí)最大；

（2）理論研究和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明：張角越大，射門命中率就越大．現(xiàn)假定運(yùn)動(dòng)員在球場都是沿著垂直于底線的方向向底線運(yùn)球，運(yùn)動(dòng)到視角最大的位置即為最佳射門點(diǎn)，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求在球場區(qū)域內(nèi)射門到球門的最佳射門點(diǎn)的軌跡.

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【題目】已知兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，且，若動(dòng)點(diǎn)滿足.

（1）求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡對(duì)應(yīng)曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）一條縱截距為2的直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若以PQ直徑的圓恰過原點(diǎn)，求出直線方程.

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【題目】設(shè)函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，求的極值；

若的定義域?yàn)?/span>，判斷是否存在極值若存在，試求a的取值范圍；否則，請(qǐng)說明理由．

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青年組

中老年組

(1)利用直方圖估計(jì)青年組的中位數(shù)和老年組的平均數(shù)；

(2)從青年組,的分?jǐn)?shù)段中,按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對(duì)應(yīng)的市民參加政府組織的座談會(huì),求選出的3位市民中有2位來自分?jǐn)?shù)段的概率．

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【題目】2018年9月，臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國多個(gè)省市登陸，造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組：，，，，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶，設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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