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已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的離心率為
3
，點（
3
，0）是雙曲線的一個頂點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）經過的雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°直線l，直線l與雙曲線交于不同的A，B兩點，求AB的長．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）由已知得
c
a
=
3
a=
3
，由此能求出雙曲線的方程．
（2）直線l的方程為y=
3
3
（x-3），聯(lián)立
x2
3
-
y2
6
=1
y=
3
3
(x-3)
，得5x2+6x-27=0，由此能求出|AB|．
解答： 解：（1）∵雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的離心率為
3
，
點（
3
，0）是雙曲線的一個頂點，
∴
c
a
=
3
a=
3
，解得c=3，b=
6
，
∴雙曲線的方程為
x2
3
-
y2
6
=1．
（2）雙曲線
x2
3
-
y2
6
=1的右焦點為F2（3，0），
∴經過的雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°直線l的方程為y=
3
3
（x-3），
聯(lián)立
x2
3
-
y2
6
=1
y=
3
3
(x-3)
，得5x2+6x-27=0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-
6
5
，x1x2=-
27
5
，
|AB|=
1+
1
3
•
(-
6
5
)2-4×(-
27
5
)
=
16
3
5
．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

解不等式：(
1
2
)x2-2≤2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的函數g（x）=|-x2+2bx+c|在區(qū)間[-1，1]上的最大值為M．
（1）當b=1，c=2時，求M的值．
（2）若|b|＞1，證明對任意的c，都有M＞2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

過點P（2，0）作直線l交橢圓
x2
2
+y2=1于不同兩點A，B，設G為線段AB的中點，直線OG交于C，D．
（1）若點G的橫坐標為
2
3
，求l的方程；
（2）設△ABD與△ABC的面積分別為S1，S2，求|S1-S2|．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線x+y+1=0與以橢圓C的右焦點為圓心，以
2
b為半徑的圓相切．
（1）求橢圓的方程．
（2）若過橢圓C的右焦點F作直線L交橢圓C于A，B兩點，交y軸于M點，且
MA
=λ1
AF，
MB
=λ2
BF
，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，曲線C1：
x2
16
+
y2
m2
=1和C2：
x2
16
+
y2
n2
=1（m＞n＞0）的公共頂點為M（-4，0）和N（4，0），過原點O且不與x軸重合的直線l與C1，C2的四個交點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D，
（1）若m，n∈N*，且當l傾斜角為45°時，B恰為A，O的中點，求m，n的值；
（2）若
S△MBD
S△ABN
=
m
n
=
2
+1，求直線l的方程；
（3）若存在直線l使
S△MBD
S△ABN
=
m
n
=λ，求λ取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

5位同學各自隨機從3個不同城市中選擇一個城市旅游，則3個城市都有人選的概率是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a，b，c是空間三條直線，α，β是空間兩個平面，則下列命題中，命題不正確的是（　�。�
A、當c⊥α時，若α∥β，則c⊥β
B、當b?α時，若α⊥β，則b⊥β
C、當b?α，a?α且c是a在α內的射影時，若a⊥b，則b⊥c
D、當b?α且c?α時，若b∥c，則c∥α

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1≤x≤m+1}．
（Ⅰ）若A⊆B，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若B⊆A，求實數m的取值范圍．

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