Question

【題目】已知定點(diǎn)O（0，0），A（3，0），動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O距離與到定點(diǎn)A的距離的比值是 ．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明方程表示的曲線；
（Ⅱ）當(dāng)λ=4時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線D．F，G是曲線D上不同的兩點(diǎn)，對(duì)于定點(diǎn)Q（﹣3，0），有|QF||QG|=4．試問(wèn)無(wú)論F，G兩點(diǎn)的位置怎樣，直線FG能恒和一個(gè)定圓相切嗎？若能，求出這個(gè)定圓的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
則由|PO|=|PA|得λ（x2+y2）=（x﹣3）2+y2 ，
整理得：（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，
∵λ＞0，∴當(dāng)λ=1時(shí)，方程可化為：2x﹣3=0，方程表示的曲線是線段OA的垂直平分線；
當(dāng)λ≠1時(shí)，則方程可化為，+y2=，
即方程表示的曲線是以（﹣，0）為圓心，為半徑的圓．
（Ⅱ）當(dāng)λ=4時(shí)，曲線D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，
故曲線D表示圓，圓心是D（﹣1，0），半徑是2．
設(shè)點(diǎn)Q到直線FG的距離為d，∠FQG=θ，
則由面積相等得到|QF||QG|sinθ=d|FG|，且圓的半徑r=2．
即d===1．于是頂點(diǎn)Q到動(dòng)直線FG的距離為定值，
即動(dòng)直線FG與定圓（x+3）2+y2=1相切．
【解析】（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由|PO|=|PA|代入坐標(biāo)整理得（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，對(duì)λ分類討論可得；
（Ⅱ）當(dāng)λ=4時(shí)，曲線D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，則由面積相等得到|QF||QG|sinθ=d|FG|，且圓的半徑r=2，由點(diǎn)到直線的距離公式以及直線和圓的位置關(guān)系可得．