Question

如圖，多面體PABCD的直觀圖及三視圖如圖所示，E、F分別為PC、BD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面PDC⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由線面平行的判定定理證明EF∥平面PAD；
（Ⅱ）要證平面PDC⊥平面PAD，只需證明平面PDC垂直于平面PAD內(nèi)的一條垂涎即可，有面面垂直的性質(zhì)及解直角三角形即可得到證明．

解答：證明：由多面體PABCD的三視圖知，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD是等腰三角形，PA=PD=

2

，
且平面PAD平面ABCD．
（1）連結(jié)AC，則F是AC的中點，
在△CPA中，EF∥PA，
且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）因為平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA
又PA=AD=

2

，AD=2，∴△PAD是等腰直角三角形，
且∠PAD=

π

2

，即PA⊥AD
又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，
又PA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PDC．

點評：本題考查了面面垂直的判定，考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．