如果函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函，下面四個函數(shù)：
①f（x）=1；②f（x）=x2；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f（x）=
xx2+x+1
．
其中屬于有界泛函的是
 
．
分析：先把原定義轉(zhuǎn)化為求當x≠0時有最大值，當x=0時，|f（0）|≤0恒成立問題．
再分別對①②③④四個函數(shù)在x≠0時求最大值，有最大值符合定義，沒最大值就不符合定義．
解答：解；因為|f（x）|≤M|x|恒成立 即為當x=0時，|f（0）|≤0恒成立，
當x≠0時，
|f(x)|
|x|
≤M恒成立，只要
|f(x)|
|x|
有最大值即可．
對于①f（0）=1不滿足，故①不符合
對于②當x≠0時，
|f(x)|
|x|
=|x|無最大值，故②不符合
對于③當x≠0時，
|f(x)|
|x|
=|sinx+cosx|=
2
|sin（x+
π
4
）|有最大值
2
，故③符合
對于④當x≠0時，
|f(x)|
|x|
=|
1
x2+x+1
=
1
(x+
1
2
) 2+
3
4
|有最大值
4
3
，故④符合
故答案為：③④
點評：本題是在新定義下考查恒成立問題．關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）是定義在（0，+∞）的可導函數(shù)，且不恒為0，記gn（x）=
f(x)
n
(n∈N*)．若對定義域內(nèi)的每一個x，總有gn（x）＜0，則稱f（x）為“n階負函數(shù)”；若對定義域內(nèi)的每一個x，總有[gn(x)]′≥0，則稱f（x）為“n階不減函數(shù)”（[gn(x)]′為函數(shù)gn（x）的導函數(shù)）．
（1）若f（x）=
a
x3
-
1
x
-x（x＞0）既是“1階負函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對任給的“n階不減函數(shù)”f（x），如果存在常數(shù)c，使得f（x）＜c恒成立，試判斷f（x）是否為“n階負函數(shù)”？并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•南通三模）設f（x）是定義在（0，+∞）的可導函數(shù)，且不恒為0，記gn(x)=
f(x)
xn
(n∈N*)．若對定義域內(nèi)的每一個x，總有gn（x）＜0，則稱f（x）為“n階負函數(shù)”；若對定義域內(nèi)的每一個x，總有[gn(x)]′≥0，則稱f（x）為“n階不減函數(shù)”（[gn(x)]′為函數(shù)gn（x）的導函數(shù)）．
（1）若f(x)=
a
x3
-
1
x
-x(x＞0)既是“1階負函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對任給的“2階不減函數(shù)”f（x），如果存在常數(shù)c，使得f（x）＜c恒成立，試判斷f（x）是否為“2階負函數(shù)”？并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：全優(yōu)設計選修數(shù)學－2-2蘇教版 蘇教版 題型：022

已知函數(shù)y＝f(x)，設x0是定義域內(nèi)任一點，如果對x0附近的所有點x，都有f(x)＜f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取_________，記作_________．并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個_________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設f（x）是定義在（0，+∞）的可導函數(shù)，且不恒為0，記數(shù)學公式．若對定義域內(nèi)的每一個x，總有gn（x）＜0，則稱f（x）為“n階負函數(shù)”；若對定義域內(nèi)的每一個x，總有數(shù)學公式，則稱f（x）為“n階不減函數(shù)”（數(shù)學公式為函數(shù)gn（x）的導函數(shù)）．
（1）若數(shù)學公式既是“1階負函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對任給的“2階不減函數(shù)”f（x），如果存在常數(shù)c，使得f（x）＜c恒成立，試判斷f（x）是否為“2階負函數(shù)”？并說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案