Question

1．對(duì)于任意的$m∈[\frac{1}{2}，3]$，不等式t²+mt＞2m+4恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，-5）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得m（t-2）+t²-4＞0，構(gòu)造函數(shù)f（m）=m（t-2）+t²-4，m∈[$\frac{1}{2}$，3]，由單調(diào)性可得f（$\frac{1}{2}$）＞0，且f（3）＞0，由二次不等式的解法即可得到所求范圍．

解答 解：對(duì)于任意的$m∈[\frac{1}{2}，3]$，不等式t²+mt＞2m+4恒成立，
即為m（t-2）+t²-4＞0，構(gòu)造函數(shù)f（m）=m（t-2）+t²-4，m∈[$\frac{1}{2}$，3]，
即有f（$\frac{1}{2}$）＞0，且f（3）＞0，
即為$\frac{1}{2}$（t-2）+t²-4＞0，且3（t-2）+t²-4＞0，
即有t＞2或t＜-$\frac{5}{2}$且t＞2或t＜-5，
解得t＞2或t＜-5．
故答案為：（-∞，-5）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的恒成立問(wèn)題的解法，注意構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用單調(diào)性解決，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．