Question

17．已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，-3），端點(diǎn)A在圓（x+4）²+（y-3）²=4上運(yùn)動(dòng)．
（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)（1）中所求的軌跡E分別交x軸正、負(fù)半軸于G、H點(diǎn)，交y軸正半軸于F點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交曲線E于D點(diǎn)，且與x軸交于P點(diǎn)，直線FH與GD交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：當(dāng)P點(diǎn)異于點(diǎn)G時(shí)，$\overrightarrow{{O}{P}}•\overrightarrow{{O}Q}$為定值．

Answer 1

分析 （1）分別設(shè)出M，A的坐標(biāo)，表示出A的坐標(biāo)代入圓的方程化簡(jiǎn)整理可得M的軌跡方程．
（2）求出FH的直線方程，設(shè)出l的直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去y，表示出D的坐標(biāo)，表示出GD直線方程，與FH方程聯(lián)立表示出Q的坐標(biāo)，則$\overrightarrow{{O}{P}}•\overrightarrow{{O}Q}$的值可得．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），A（x₀，y₀），則x=$\frac{{{x_0}+4}}{2}$，y=$\frac{{{y_0}-3}}{2}$，
∴x₀=2x-4，y₀=2y+3，
∵A點(diǎn)在圓（x+4）²+（y-3）²=4上運(yùn)動(dòng)，
∴（2x-4+4）²+（2y+3-3）²=4，
化簡(jiǎn)得 x²+y²=1．
即軌跡E的方程為x²+y²=1．
（2）由（1）知G（1，0），H（-1，0），F(xiàn)（0，1），
∴FH的方程為x-y+1=0．
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，GD∥FH，與題意不合．
設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1，易得P（-$\frac{1}{k}$，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}$消去y，整理得（1+k²）x²+2kx=0，
解得x=0，或x=-$\frac{2k}{{1+{k^2}}}$．
∴D的縱坐標(biāo)為y=-$\frac{2k}{{1+{k^2}}}$•k+1=$\frac{{1-{k^2}}}{{1+{k^2}}}$．
∴GD的方程為y=$\frac{{\frac{{1-{k^2}}}{{1+{k^2}}}-0}}{{-\frac{2k}{{1+{k^2}}}-1}}$（x-1），整理得y=$\frac{k-1}{k+1}$（x-1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{k-1}{k+1}（x-1）\\ x-y+1=0\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-k\\ y=-k+1\end{array}$，
即Q（-k，k+1）．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=（-k）×（-\frac{1}{k}）$=1（定值）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的方程綜合運(yùn)用．解題過(guò)程中考查了學(xué)生的分析和推理的能力．