Question

已知函數(shù)，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求的最小值；　
（2）對(duì)x∈[1，4]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：令，則g（x）=t²-a²，．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，t≥1，故，因此，當(dāng)且僅當(dāng)t=1即x=0時(shí)取等號(hào)．
所以的最小值是3；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由整理可得at²-2t-a³＞0①或at²+8t-a³＜0②．因此①式或②式對(duì)于任意的t∈[1+a，2+a]恒成立．顯然at²+8t-a³=a（t²-a²）+8t＞0，故②式不成立．
令φ（t）=at²-2t-a³，因?yàn)椤?4+4a⁴＞0，
結(jié)合該函數(shù)的圖象可得或?（ I）或（ II）．
結(jié)合a＞0可知不等式組（ I）的解為，不等式組（ II）無(wú)解．所以．
分析：（1）利用換元法，可將求 的最小值轉(zhuǎn)化為利用基本不等式可求最小值；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由整理可得at²-2t-a³＞0①或at²+8t-a³＜0②．構(gòu)造函數(shù)φ（t）=at²-2t-a³，因?yàn)椤?4+4a⁴＞0，結(jié)合該函數(shù)的圖象可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是換元轉(zhuǎn)化．