Question

已知函數，
（1）當a=1時，求的最小值；　
（2）對x∈[1，4]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：令，則g（x）=t²-a²，．
（1）當a=1時，t≥1，故，因此，當且僅當t=1即x=0時取等號．
所以的最小值是3；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由整理可得at²-2t-a³＞0①或at²+8t-a³＜0②．因此①式或②式對于任意的t∈[1+a，2+a]恒成立．顯然at²+8t-a³=a（t²-a²）+8t＞0，故②式不成立．
令φ（t）=at²-2t-a³，因為△=4+4a⁴＞0，
結合該函數的圖象可得或?（ I）或（ II）．
結合a＞0可知不等式組（ I）的解為，不等式組（ II）無解．所以．
分析：（1）利用換元法，可將求 的最小值轉化為利用基本不等式可求最小值；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由整理可得at²-2t-a³＞0①或at²+8t-a³＜0②．構造函數φ（t）=at²-2t-a³，因為△=4+4a⁴＞0，結合該函數的圖象可求實數a的取值范圍．
點評：本題以函數為載體，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，關鍵是換元轉化．