【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=kax﹣ax(a>0且a≠1,k∈R),f(x)是定義域為R的奇函數(shù).
(1)求k的值
(2)已知f(1)= ,函數(shù)g(x)=a2x+a2x﹣2f(x),x∈[0,1],求g(x)的值域;
(3)在第(2)問的條件下,試問是否存在正整數(shù)λ,使得f(2x)≥λf(x)對任意x∈[﹣ , ]恒成立?若存在,請求出所有的正整數(shù)λ;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:由題意:函數(shù)f(x)=kax﹣ax(a>0且a≠1,k∈R),f(x)是定義域為R的奇函數(shù).

∴f(0)=0,即k﹣1=0,解得:k=1,

故得函數(shù)f(x)=ax﹣ax


(2)解:∵f(1)= ,

可得f(1)= =

解得:a=4或a= ,

∵a>0,

故得:a=4.

∴函數(shù)f(x)=4x﹣4x

∵函數(shù)g(x)=a2x+a2x﹣2f(x),x∈[0,1],

∴g(x)=42x+42x﹣2(4x﹣4x)=(4x﹣4x2﹣2(4x﹣4x)+2

令t=4x﹣4x,

∵x∈[0,1],由(1)知t=f(x)在[0,1]上為增函數(shù),

∴t∈[0, ].

那么:g(x)=(4x﹣4x2﹣2(4x﹣4x)+2轉(zhuǎn)化為h(t)=t2﹣2t+2,

函數(shù)h(t)圖象開口向上,對稱軸t=1,

∴當(dāng) 時,h(t)有最大值 ;即函數(shù)g(x)最大值為

當(dāng)t=1時,h(t)有最小值1,即函數(shù)g(x)最小值為1.

∴函數(shù)g(x)的值域為[1, ]


(3)解:由(2)可得f(2x)=42x﹣42x=(4x+4x)(4x﹣4x

∵f(2x)≥λf(x),即為(4x+4x)(4x﹣4x)≥λ(4x﹣4x).

假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)λ,

∵x∈[﹣ , ],

①當(dāng)x=0時,不等式恒成立,

故得:λ∈R.

②當(dāng)x∈(0, ]時,4x﹣4x>0,不等式轉(zhuǎn)化為4x+4x≥λ;

令u=4x,

則:1<u≤2.

易證:Z= 在(1,2]上是增函數(shù),其最小值為2.

故得:λ≤2.

③當(dāng)x∈[﹣ ,0)時,4x﹣4x<0,不等式轉(zhuǎn)化為4x+4x≤λ;

令v=4x,

則: ≤v<1,

易證:Z′= 在[ ,1)上是減函數(shù),其最大值為

故得:λ≥

綜上所得,λ不存在固定的值.

∴不存在正整數(shù)λ,使得f(2x)≥λf(x)對任意x∈[﹣ , ]恒成立


【解析】(1)f(x)是定義域為R的奇函數(shù).f(0)=0,可得k的值.(2)f(1)= ,求出a的值,可得f(x),函數(shù)g(x)=a2x+a2x﹣2f(x),x∈[0,1],可求g(x)的值域;(3)假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)λ,轉(zhuǎn)化成不等式問題求解,分類討論其正整數(shù)λ的值即可.
【考點精析】掌握函數(shù)的值域和函數(shù)的最值及其幾何意義是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的;利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲担焕煤瘮(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担

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