Question

已知集合A={x|log₂（x-1）＜1}，集合B={x|x²-ax+b＜0，a，b∈R}．
（1）若A=B，求a，b的值；
（2）若b=3，且A∪B=A，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先化簡集合A，再利用A=B，從而將問題轉(zhuǎn)化為x²-ax+b=0的兩根分別為1和3，利用韋達定理可求；
（2）由A∪B=A知，B⊆A，再分B是空集與非空集合討論，進而求并集即可．

解答：解：（1）由log₂（x-1）＜1得0＜x-1＜2，所以集合A={x|1＜x＜3}．                  （2'）
由A=B知，x²-ax+b＜0的解集為{x|1＜x＜3}，所以方程x²-ax+b=0的兩根分別為1和3．
由韋達定理可知，

a=1+3 b=1×3

，解得a=4，b=3，即為所求．                      （4'）
（2）由A∪B=A知，B⊆A．                                           （5'）
①當B=∅時，有△=a²-12≤0，解得-2

3

≤a≤2

3

；                         （7'）
②當B≠∅時，設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+3，其圖象的對稱軸為x=

a

2

，則

△=a2-12＞0 f(1)=4-a≥0 f(3)=12-3a≥0 1＜ a 2 ＜3

解得2

3

＜a≤4．                             （11'）
綜上①②可知，實數(shù)a的取值范圍是[-2

3

，4]．                            （12'）

點評：本題以集合為載體，考查集合之間的關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．