Question

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F 分別為DD₁、DB的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求證：CF⊥B₁E；
（3）求三棱錐V_C-B1FE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）欲證EF∥平面ABC₁D₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面ABC₁D₁內一直線平行即可，連接BD₁，在△DD₁B中，E、F分別為D₁D，DB的中點，則EF∥D₁B，而D₁B?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，滿足定理所需條件；
（2）由題意，欲證線線垂直，可先證出CF⊥平面BB₁D₁D，再由線面垂直的性質證明CF⊥B₁E即可；
（3）由題意，可先證明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱錐的高，再求出底面△B₁EF的面積，然后再由棱錐的體積公式即可求得體積．

解答： （1）證明：連接BD₁，
∵E、F分別為DD₁、DB的中點，
∴EF是三角形BD₁D的中位線，即EF∥BD₁；…（3分）
又EF?平面ABC₁D₁，BD₁?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁…（4分）
（2）證明：E、F分別為D₁D，DB的中點，
則CF⊥BD，又CF⊥D₁D
∴CF⊥平面BB₁D₁D，∴CF⊥B₁E…（8分）
（3）解：由（2）可知CF⊥平面BB₁D₁D，∴CF為高，CF=BF=

2

∵EF=

1

2

BD₁=

3

，B₁F=

6

，B₁E=3
∴EF2+B1F2=B1E2即∠EFB₁=90°
∴S△B1EF=

3 2

2

∴VB1-EFC=CC-B1EF=

1

3

×

3 2

2

×

2

=1…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查線面垂直的性質定理與線面垂直的判定定理及錐體的體積的求法，考查了空間感知能力及判斷推理的能力，解題的關鍵是熟練掌握相關的定理及公式．