Question

在某兩個(gè)正數(shù)x，y之間，若插入一個(gè)正數(shù)a，使x，a，y成等比數(shù)列；若插入兩個(gè)正數(shù)b，c，使x，b，c，y成等差數(shù)列，求證：（a+1）²≤（b+1）（c+1）．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)某兩個(gè)正數(shù)x，y之間，若插入一個(gè)正數(shù)a，使x，a，y成等比數(shù)列，得到，在根據(jù)插入兩個(gè)正數(shù)b，c，使x，b，c，y成等差數(shù)列，得到b=，c=，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的關(guān)系式，再利用基本不等式即可
解答：解：∵x，a，y成等比數(shù)列
∴a²=xy
∵a＞1
∴
∵x，b，c，y成等差數(shù)列
∴b-x=c-b=y-c
即b=，c=
∴（b+1）（c+1）=（）=
∵x＞0，y＞0
∴≥=（a+1）²
即：（a+1）²≤（b+1）（c+1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，屬于基礎(chǔ)題．