Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx
（1）求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值與最小值；
（2）已知直線l：y=2x+a與函數(shù)f（x）的圖象相切，求切點(diǎn)的坐標(biāo)及a的值．

Answer 1

解：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)得：f′（x）=；
因?yàn)閒′（x）=＞0在區(qū)間[1，e]上恒成立，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，
所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值為f（1）=；當(dāng)x=e時(shí)，f（x）有最大值f（e）=．
（2）由題意得f′（x）=2即f′（x）==2解得x=1
將x=1代入f（x）=x²+lnx得f（1）=即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）；
將切點(diǎn)坐標(biāo)（1，）代入直線l：y=2x+a得a=
故切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）；a=
分析：（1）求出函數(shù)f（x）導(dǎo)數(shù)f′（x），判斷出f′（x）=＞0在區(qū)間[1，e]上恒成立，得到f（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，進(jìn)一步求出f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值與最小值；
（2）令f′（x）=2求得x=1將x=1代入f（x）=x²+lnx得到切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）；將切點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程求得a的值
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性；考查函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，屬于中檔題．