Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1，若存在x₀使|f（x₀）|≤$\frac{1}{4}$，|f（x₀+1）|≤$\frac{1}{4}$同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-$\sqrt{6}$，-2]∪[2，$\sqrt{6}$]．

Answer 1

分析 求出二次函數(shù)的最值，考察f（x）=x²+h，當(dāng)h=0，-$\frac{1}{2}$時(shí)，有|f（-$\frac{1}{2}$）|≤$\frac{1}{4}$，|f（-$\frac{1}{2}$+1）|≤$\frac{1}{4}$同時(shí)成立，令-$\frac{1}{2}≤$$\frac{4-{a}^{2}}{4}$≤0，解不等式即可得到．

解答 解：由f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{4-{a}^{2}}{4}$，
考察f（x）=x²+h，當(dāng)h=0時(shí)，有|f（-$\frac{1}{2}$）|≤$\frac{1}{4}$，|f（-$\frac{1}{2}$+1）|≤$\frac{1}{4}$同時(shí)成立；
當(dāng)h=-$\frac{1}{2}$時(shí)，有|f（-$\frac{1}{2}$）|≤$\frac{1}{4}$，|f（-$\frac{1}{2}$+1）|≤$\frac{1}{4}$同時(shí)成立．
所以-$\frac{1}{2}≤$h≤0即-$\frac{1}{2}≤$$\frac{4-{a}^{2}}{4}$≤0，
解得-$\sqrt{6}$≤a≤-2或2≤a≤$\sqrt{6}$．
故答案為：[-$\sqrt{6}$，-2]∪[2，$\sqrt{6}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查二次函數(shù)的最值，同時(shí)考查二次不等式的解法，屬于中檔題．