Question

設函數f（x）的定義域是（0，+∞），對于任意正實數m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且當x＞1時，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（3）求方程4sinx=f（x）的根的個數．

Answer 1

解：（1）令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令，則，
∴（4分）

（2）設0＜x₁＜x₂，則
∵當x＞1時，f（x）＞0
∴（6分）
（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數（10分）

（3）∵y=4sinx的圖象如右圖所示
又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4
由y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的圖象大致形狀如右圖所示，
由圖象在[0，2π]內有1個交點，
在（2π，4π]內有2個交點，
在（4π，5π]內有2個交點，又5π＜16＜6π，
后面y=f（x）的圖象均在y=4sinx圖象的上方．
故方程4sinx=f（x）的根的個數為5個（16分）
分析：（1）利用賦值法，對于任意正實數m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令，即可求出的值；
（2）先在定義域內任取兩個值x₁，x₂，并規(guī)定大小，然后判定出f（x₁），與f（x₂）的大小關系，根據單調增函數的定義可知結論；
（3）分別畫出y=4sinx的圖象與y=f（x）的圖象，結合圖象以及函數的單調性判定出交點的個數即可．
點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及函數單調性的判斷與證明，屬于中檔題．