Question

（2010•成都一模）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n²+4a_n+2，n∈N^*．
（I）設(shè)b_n=log₃（a_n+2），證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（III）設(shè)cn=

4

an-2

-

1

an

+

1

an+4

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由a1=1，an+1=an2+4an+2可得an+1+2=(an+2)2，則log₃（a_n+1+2）=2（log₃a_n+2）即可證
（II）由（I）可得bn=2n-1，從而可求
（III）由a_n+1=a_n²+4a_n+2，可得a_n+1-2=a_n²+4a_n則cn=

4

an-2

-

1

an

+

1

an+4

=

4

an-2

-(

1

an

-

1

4+an

)=

4

an-2

-

4

an(an+4)

=

4

an-2

-

4

an+1-2

，利用裂項求和

解答：證明：（I）由a1=1，an+1=an2+4an+2
得an+1+2=(an+2)2
∴l(xiāng)og₃（a_n+1+2）=2（log₃a_n+2）（3分）
∵b_n=log₃（a_n+2），
∴b₁=1，b_n+1=2b_n（5分）
（II）由（I）可得bn=2n-1
即log3(an+2)=2n-1
∴an=32n-1-2（8分）
（III）∵a_n+1=a_n²+4a_n+2，
∴a_n+1-2=a_n²+4a_n
∵cn=

4

an-2

-

1

an

+

1

an+4

=

4

an-2

-(

1

an

-

1

4+an

)
=

4

an-2

-

4

an(an+4)

=

4

an-2

-

4

an+1-2

（10分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=

4

a1-2

-

4

a2-1

+…+

4

an-2

-

4

an+1-2

（10分）
=

4

a1-2

-

4

an+1-2

=-4-

4

32n-4

（12分）

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，解題中要注意構(gòu)造等比數(shù)列求解通項公式，利用裂項求和，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用．