Question

如圖是一種加熱水和食物的太陽(yáng)灶，上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水和食物的容器放在拋物線的焦點(diǎn)處，容器由若干根等長(zhǎng)的鐵筋焊接在一起的架子支撐．已知鏡口圓的直徑為12 m，鏡深2 m，
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的方程和焦點(diǎn)的位置；
（2）若把盛水和食物的容器近似地看作點(diǎn)，試求每根鐵筋的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）先建立直角坐標(biāo)系，得到A的坐標(biāo)，然后設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)而可得到P的值，從而可確定拋物線的方程和焦點(diǎn)的位置．
（2）根據(jù)盛水的容器在焦點(diǎn)處，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得到每根鐵筋的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）如圖，在反光鏡的軸截面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，x軸垂直于鏡口直徑．
由已知，得A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，6），
設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
則36=2p×2，p=9．
所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=18x，
焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（

9

2

，0）．
（2）∵盛水的容器在焦點(diǎn)處，∴A、F兩點(diǎn)間的距離即為每根鐵筋長(zhǎng)．
|AF|=

(2- 9 2 )2+62

=

13

2

（或|AF|=

9

2

+2=

13

2

）．
故每根鐵筋的長(zhǎng)度是6.5m．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的應(yīng)用．拋物線在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用很廣泛，在高考中也占據(jù)重要的地位，一定要掌握其基礎(chǔ)知識(shí)做到活學(xué)活用．