Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項和為S_n．
（1）已知a₁=1，d=2，
（�。┣螽攏∈N^*時，的最小值；
（ⅱ）當n∈N^*時，求證：；
（2）是否存在實數(shù)a₁，使得對任意正整數(shù)n，關(guān)于m的不等式a_m≥n的最小正整數(shù)解為3n-2？若存在，則求a₁的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）（ⅰ）先利用等差數(shù)列的求和公式得出Sn，再結(jié)合基本不等式求得的最小值即可；
（ⅱ）由（�。┲猄_n=n²，當n∈N^*時，由于利用裂項求和的方法化簡所證不等式的左邊，最后進行放縮即得所要證不等式．
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即存在實數(shù)a₁，使得對任意正整數(shù)n，關(guān)于m的不等式a_m≥n的最小正整數(shù)解為3n-2，再利用不等關(guān)系求得d和實數(shù)a₁的范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）（ⅰ）解：∵a₁=1，d=2，
∴，，
當且僅當，即n=8時，上式取等號．故的最小值是16．（4分）
（ⅱ）證明：由（�。┲猄_n=n²，當n∈N^*時，，（6分）==，（8分）
∵，∴．（9分）
（2）假設(shè)對?n∈N^*，關(guān)于m的不等式a_m=a₁+（m-1）d≥n的最小正整數(shù)解為c_n=3n-2，
當n=1時，a₁+（c₁-1）d=a₁≥1；（10分）
當n≥2時，恒有，即，
從而．（12分）
當時，對?n∈N^*，且n≥2時，當正整數(shù)m＜c_n時，
有．（13分）
所以存在這樣的實數(shù)a₁符合題意且a₁的取值范圍是．
點評：此題是個難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（2）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問題結(jié)合起來，能有效考查學生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．