(2013•通州區(qū)一模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,AB=2
2
,CC1=4,M是棱CC1上一點.
(Ⅰ)求證:BC⊥AM;
(Ⅱ)若N是AB上一點,且
AN
AB
=
CM
CC1
,求證:CN∥平面AB1M;
(Ⅲ)若CM=
5
2
,求二面角A-MB1-C的大。
分析:(Ⅰ)證明BC⊥AM,可證BC⊥面ACM,由CC1⊥底面ABC得到BC⊥CM,在三角形ABC中由勾股定理得到AC⊥BC,由線面垂直的判定定理得到BC⊥面ACM,則問題得證;
(Ⅱ)過N作NP∥BB1交AB1于P,連結(jié)MP,由已知及三角形相似可證得四邊形MCNP是平行四邊形,從而得到線線平行,進一步利用線面平行的判定定理得到線面平行;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知CA,CB,CC1為三條兩兩相互垂直的直線,以C為原點,CA,CB,CC1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用空間向量求二面角A-MB1-C的大。
解答:(Ⅰ)證明:因為三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC,
所以 CC1⊥BC.     
因為AC=BC=2,AB=2
2
,
所以,由勾股定理的逆定理知BC⊥AC. 
又因為AC∩CC1=C,
所以BC⊥平面ACC1A1
因為AM?平面ACC1A1
所以BC⊥AM;
(Ⅱ)證明:如圖,
過N作NP∥BB1交AB1于P,連結(jié)MP,則
NP∥CC1,且△ANP∽△ABB1
于是有
NP
BB1
=
AN
AB

由已知
AN
AB
=
CM
CC1
,有
NP
BB1
=
CM
CC1

因為BB1=CC1
所以NP=CM.
所以四邊形MCNP是平行四邊形.  
所以CN∥MP.   
因為CN?平面AB1M,MP?平面AB1M,
所以CN∥平面AB1M;    
(Ⅲ)因為BC⊥AC,且CC1⊥平面ABC,
所以以C為原點,CA,CB,CC1分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C-xyz.
因為CM=
5
2
,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),M(0,0,
5
2
)
,
AM
=(-2,0,
5
2
)
,
B1M
=(0,-2,-
3
2
)

設(shè)平面AMB1的法向量
m
=(x,y,z)
,
m
AM
=0
m
B1M
=0
,即
-2x+
5
2
z=0
-2y-
3
2
z=0
,
令x=5,則y=-3,z=4,即
m
=(5,-3,4)

又平面MB1C的一個法向量是
CA
=(2,0,0)
,
所以cos<
m
,
CA
>=
m
CA
|
m
|•|
CA
|
=
5×2+(-3)×0+4×0
52+(-3)2+42
22
=
2
2
.   
由圖可知二面角A-MB1-C為銳角,
所以二面角A-MB1-C的大小為
π
4
點評:本題考查了直線與平面平行的判定,考查了直線與平面垂直的判定,證明的關(guān)鍵是進口兩個判定定理的條件,訓(xùn)練了利用平面法向量求二面角的大小,關(guān)鍵是會求平面的法向量,是中檔題.
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(-
1
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,1]
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