Question

已知雙曲線x²-y²=2；
（1）若直線n的斜率為2，直線n與雙曲線相交于A、B兩點，線段AB的中點為P，求點P的坐標（x，y）滿足的方程（不要求寫出變量的取值范圍）；
（2）過雙曲線的左焦點F₁，作傾斜角為α的直線m交雙曲線于M、N兩點，期中α∈（

π

4

，

3π

4

），F(xiàn)₂是雙曲線的右焦點，求△F₂MN的面積S關(guān)于傾斜角α的表達式．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用點差法，結(jié)合線段AB的中點為P（x，y），直線n的斜率為2，即可得出結(jié)論．
（2）分直線l和x軸垂直和不垂直求解，△F₂MN的面積，垂直時直接計算，不垂直時設(shè)出直線方程，和雙曲線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長公式求三角形的邊長，代入面積公式求面積．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2
兩式相減可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵線段AB的中點為P（x，y），
∴2x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，
∵直線n的斜率為2，
∴x-2y=0；
（2）F₁（-2，0），|F₁F₂|=4，
直線l與x軸垂直時，|MN|=2

2

，此時，△F₂MN的面積S=

1

2

|MN||F₁F₂|=4

2

．
直線l與x軸不垂直時，直線l方程為y=tanα（x+2），
設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
將y=tanα（x+2）代入雙曲線方程，整理得：（1-tan²α）x²-4xtan²α-4tan²α-2=0
∴x₃+x₄=

4tan2α

1-tan2α

，x₃x₄=-

-4tan2α-2

1-tan2α

，
∴|MN|=

1+tan2α

•|x₃-x₄|=

1+tan2α

•

8(1+tan2α)

1-tan2α

，
∵點F₂到直線MN距離d=

|4tanα|

1+tan2α

，
∴△F₂MN的面積S=

1

2

|MN|d=

1

2

•

1+tan2α

•

8(1+tan2α)

1-tan2α

•

|4tanα|

1+tan2α

=|

4sinα

cos2α

|．

點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合題，考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題，是高考試卷中的壓軸題．