已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記的軌跡為曲線.

（I）求曲線的方程；

（II）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,試問：當(dāng)變化時(shí)，直線與軸是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)寫出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由．

 

【答案】

（I）；（II）對(duì)于任意的，直線與軸交于定點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（I）找出題中的相等關(guān)系，列出，化簡(jiǎn)即得曲線的方程；（II）將直線方程代入曲線方程，消去得，記，則，且.特別地，令，則.此時(shí)，直線與軸的交點(diǎn)為．若直線與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)只能為．再證明對(duì)于任意的，直線與軸交于定點(diǎn)，可利用直線的兩點(diǎn)式方程結(jié)合分析法．

試題解析：（I）設(shè)是點(diǎn)到直線的距離,根據(jù)題意,點(diǎn)的軌跡就是集合

       

由此得              

將上式兩邊平方,并化簡(jiǎn)得      

即，所以曲線的方程為  

（II）由得，即.  

記，

則，且.    

特別地，令，則.

此時(shí)，直線與軸的交點(diǎn)為．         

若直線與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)只能為．

以下證明對(duì)于任意的，直線與軸交于定點(diǎn)．

事實(shí)上，經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為.

令，得只需證， 

即證，即證.    

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092623522294049135/SYS201309262353311656635842_DA.files/image041.png">，   

所以成立．

這說明，當(dāng)變化時(shí)，直線與軸交于定點(diǎn)．           …

考點(diǎn)：1、曲線方程求法；2、直線與圓錐曲線位置關(guān)系；3、定點(diǎn)問題．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線：的距離之比為．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)、是直線上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線：的距離之比為．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)、是直線上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

 在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線.

(1)求曲線的軌跡方程;

(2) 設(shè)直線:與曲線相交于、兩點(diǎn),已知圓經(jīng)過原點(diǎn)和兩點(diǎn),求圓的方程,并判斷點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是否在圓上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年黑龍江佳木斯市高三第三次調(diào)研文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與到定點(diǎn)的距離之比為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程，并指明曲線C的軌跡；

（2）設(shè)直線,若曲線C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，求實(shí)數(shù)的值。

 

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