Question

【題目】如圖，已知橢圓的焦點和上項點分別為，我們稱為橢圓的“特征三角形”.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比. 若橢圓，直線

已知橢圓與橢圓是相似橢圓，求的值及橢圓與橢圓相似比；

求點到橢圓上點的最大距離；

如圖，設(shè)直線與橢圓相交于兩點，與橢圓交于兩點，求證:.

Answer 1

【答案】（1）,相似比為（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）利用兩個橢圓的特征三角形的底邊長和高,由相似可得和相似比；

（2）設(shè)橢圓上一點為,利用兩點間距離公式求解,將代入,得到關(guān)于的二次函數(shù),進(jìn)而求解即可；

（3）分別聯(lián)立直線與兩橢圓方程,利用韋達(dá)定理得到兩交點的橫坐標(biāo)的關(guān)系,再利用中點公式求得中點坐標(biāo),驗證是否重合,即可得證

（1）解:由題,設(shè)橢圓的焦距為,橢圓的焦距為,

因為橢圓與橢圓是相似橢圓,所以,即,解得或（舍）,

此時相似比為

（2）解:設(shè)橢圓上一點為,則,

因為,

所以,

因為,所以當(dāng)時,,

所以點到橢圓上點的最大距離為

（3）證明:直線不與軸垂直,設(shè),,線段的中點,

聯(lián)立,消去可得,

所以,則,

設(shè),,線段的中點,

聯(lián)立,消去可得,

所以,則,

故線段,的中點重合,

所以