Question

已知等差數(shù)列{ a_n }中，前n項(xiàng)和S_n滿足：S₁₀+S₂₀=1590，S₁₀-S₂₀=-930．
（1）求數(shù)列{ a_n }的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式；
（2）是否存在三角形同時(shí)具有以下兩個(gè)性質(zhì)，如果存在，請(qǐng)求出三角形的三邊長和b值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
①三邊是數(shù)列{ a_n+b}中的連續(xù)三項(xiàng)，其中b∈N*；
②最小角是最大角的一半．

Answer 1

分析：（1）先求出S₁₀=330，S₂₀=1260，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得結(jié)論；
（2）假設(shè)存在，三邊為6n+b，6n+b+6，6n+b+12，設(shè)x=6n+b（x＞6），則三邊為x，x+6，x+12，利用余弦定理及二倍角公式可得結(jié)論．

解答：解：（1）由S₁₀+S₂₀=1590，S₁₀-S₂₀=-930，可得：S₁₀=330，S₂₀=1260．
由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得：10a₁+45d=330，20a₁+190d=1260，可得：a₁=6，d=6，
所以a_n=6+（n-1）×6=6n，S_n=6n+3n（n-1）；
（2）假設(shè)存在，三邊為6n+b，6n+b+6，6n+b+12，設(shè)x=6n+b（x＞6），則三邊為x，x+6，x+12，
設(shè)最小角為α，則最大角為2α，∴cosα=

x2+36x+180

2(x+6)(x+12)

=

x+30

2(x+12)

，cos2α=

x2-12x-108

2x(x+6)

=

x-18

2x

∵cos2α=2cos²α-1，∴

x-18

2x

=2[

x+30

2(x+12)

]²-1
∴

x-18

x

=

-(x-6)2+648

(x+12)2

，此方程無解，∴不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查余弦定理、二倍角公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．