Question

16．過雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點F作圓O：x²+y²=a²的兩條切線，記切點分別為A，B，雙曲線的一條漸近線與圓O在第一象限的交點為C，若∠ACB=60°，則雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 根據(jù)題意∠AC′B=60°，OA=OC′，可以得到∠AFO=30°，從而得到a與c的關(guān)系式，再由a，b，c的關(guān)系，進而可求雙曲線的漸近線方程．

解答 解：由題意，∠AC′B=60°，OA=OC′，
則∠AOC′=60°，
∵FA是圓的切線，∴∠AFO=30°，
∴OF=2OC′，∴c=2a，b=$\sqrt{3}$a，
即有雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，
故答案為：y=±$\sqrt{3}$x．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)條件確定a、b與c的關(guān)系．