Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD對角線的交點．
（Ⅰ）求證：C₁O∥平面AB₁D₁；
（Ⅱ）求直線BC與平面ACC₁A₁所成角大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接AO₁，由已知得四邊形AOC₁O₁為平行四邊形，由此能證明C₁O∥平面AB₁D₁．
（Ⅱ）由已知得AA₁⊥BD，AC⊥BD，從而BD⊥平面ACC₁A₁，∠BCO為直線BC與平面ACC₁A₁所成的角，由此能求出直線BC與平面ACC₁A₁所成角．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接AO₁，
∵AO

∥

.

C1O1，
∴四邊形AOC₁O₁為平行四邊形，
∴AO₁∥OC₁，
又AO₁?平面AB₁D₁，C₁O不包含于平面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
（Ⅱ）解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD，
又在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC∩AA₁=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴∠BCO為直線BC與平面ACC₁A₁所成的角，
在正方形ABCD中，由題意知∠BCO=45°，
∴直線BC與平面ACC₁A₁所成角為45°．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．