Question

如圖，△ABC是邊長為的等邊三角形，P是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)△ABC是邊長為2的等邊三角形，算出=6，分別將和分解為以 、和 為基向量的式子，將數(shù)量積展開，化簡整理得=7++（+）最后研究 +的大小與方向，可得（+）的最大、最小值，最終得到的取值范圍．
解答：解：∵==2，∠ACB=60°
∴•=2•2cos60°=6
∵=+，=
∴=（+）（）=•+（+）+²
∵=1
∴•=6+（+）+1=7+（+）
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴向量+是與AB垂直且方向向上，長度為6的一個向量
由此可得，點P在圓C上運動，當與+共線同向時，（+）取最大值，且這個最大值為6
當與+共線反向時，（+）取最小值，且這個最小值為-6
故的最大值為7+6=13，最小值為7-6=1．即的取值范圍是[1，13]
故答案為：[1，13]
點評：本題在等邊三角形和單位圓中，求向量數(shù)量積的取值范圍，著重考查了平面向量的加減法則和平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，屬于中檔題．也可以利用向量的坐標運算，通過三角函數(shù)的有界性解決．