Question

（1）已知f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，x∈[

π

4

，

3π

4

]，是否存在常數(shù)a，b∈Q時(shí)，使得f（x）的值域?yàn)閇-3，

3

-1]？若存在，求出a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由．
（2）若關(guān)于x的方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0在[-

π

6

，

π

6

]內(nèi)有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的定義域，得sin（2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]，然后分a的正負(fù)進(jìn)行討論，建立關(guān)于a、b的方程組，解之可得存在a=-1，b=1，符合題意；
（2）將原方程整理，得a²-2a=2（sinx+

1

4

）²-

17

8

，由當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

6

]時(shí)sinx∈[-

1

2

，

1

2

]，從而得到2（sinx+

1

4

）²-

17

8

的最大最小值，得原方程在[-

π

6

，

π

6

]內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則a²-2a∈[-

17

8

，-1]，再解關(guān)于a的不等式即可得到實(shí)數(shù)a的范圍．

解答：（1）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，則2x+

π

6

∈[

2π

3

，

5π

3

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]---------（3分）
①當(dāng)a＞0時(shí)，則

2a+2a+b= 3 -1 - 3 a+2a+b=-3

，解得a=1，b=

3

-5，此時(shí)b∉Q舍去；
②當(dāng)a＜0時(shí)，則

2a+2a+b=-3 - 3 a+2a+b=-1+ 3

，解得a=-1，b=1，符合題意
綜上所述，存在a=-1，b=1，使f（x）的值域?yàn)閇-3，

3

-1]．----------------（7分）
（2）方程方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0，
化簡(jiǎn)為：a²-2a=2（sinx+

1

4

）²-

17

8

，x∈[-

π

6

，

π

6

]
∵sinx在x∈[-

π

6

，

π

6

]的取值范圍為[-

1

2

，

1

2

]
∴2（sinx+

1

4

）²-

17

8

的最大值為-1，最小值為-

17

8

因此，若原方程在[-

π

6

，

π

6

]內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則a²-2a∈[-

17

8

，-1]
解不等式組-

17

8

≤a²-2a≤-1，得a=1，
即關(guān)于x的方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0在[-

π

6

，

π

6

]內(nèi)有實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的范圍是{1}．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，討論使得函數(shù)值域?yàn)橐阎獏^(qū)間的參數(shù)取值范圍．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的最值和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域等知識(shí)，屬于中檔題．