Question

(2006湖北，20)設(shè)A、B分別為橢圓(a、b＞0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線．

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4，0)的任意一點(diǎn)，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)(此題不要求在答題卡上畫圖)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)依題意得解得從而， 故橢圓方程為． (2)解法一：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)．設(shè)． ∵M點(diǎn)在橢圓上，∴．　　① 又M點(diǎn)異于頂點(diǎn)A、B，∴． 由P、A、M三點(diǎn)共線可得． 從而，． ∴．　�、� 將①式代入②式簡(jiǎn)化得． ∵，∴．于是∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)． 解法二：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)．設(shè)P(4，λ)(λ≠0)， ，，則直線AP的方程，直線BP的方程為． ∵點(diǎn)M、N分別在直線AP、BP上， ∴，． 從而．　�、� 聯(lián)立消去y，得． ∵，―2是方程的兩根，∴， 即．　　④ 又 ．　�、� 于是由③、④式代入⑤式化簡(jiǎn)可得． ∵N點(diǎn)在橢圓上，且異于頂點(diǎn)A、B，∴． 又∵λ≠0，∴，從而， 故∠MBN為鈍角，即點(diǎn)B在以NM為直徑的圓內(nèi)． 解法三：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)．設(shè)，，則，．又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，∴ 化簡(jiǎn)得．　　⑥ 直線AP的方程為， 直線BP的方程為． ∵點(diǎn)P在準(zhǔn)線x=4上， ∴，即．　�、� 又∵M點(diǎn)在橢圓上， ∴，即．　　⑧ 于是將⑦、⑧式代入⑥式化簡(jiǎn)可得 ． 從而B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

提示：

剖析：本題考查橢圓、圓以及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分析問題和解決問題的能力．