Question

各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，其前n項和為S_n，滿足

an+1

an

-

2an

an+1

=1（n∈N^*），且S₅+2=a₆．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：7（a_n-1）²＞3n+1（n∈N^*）；
（Ⅲ）若n∈N^*，令b_n=a_n²，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n（n∈N^*），試比較

Tn+1+12

4Tn

與

4n+6

4n-1

的大�。�

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：證明題,壓軸題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（Ⅰ）把已知的數(shù)列遞推式變形，整理后得到數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．再由S5+2=a6 列式求得首項，代入等比數(shù)列的通項公式得答案；
（Ⅱ）把a_n-1的表達式代入7（a_n-1）²＞3n+1，然后由數(shù)學歸納法證明該不等式；
（Ⅲ）把a_n代入b_n=a_n²，由等比數(shù)列的求和公式求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，然后利用作差法比較

Tn+1+12

4Tn

與

4n+6

4n-1

的大小．

解答： （Ⅰ）解：由

an+1

an

-

2an

an+1

=1得，

a

2 n+1

-2

a

2 n

-anan+1=0，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
又a_n＞0，
∴2a_n-a_n+1=0，
∴2a_n=a_n+1，
則數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．
由S5+2=a6 ，得

a1(1-25)

1-2

=a1•25，解得a₁=2．
故數(shù)列{a_n}的通項公式為an=2n(n∈N*)；
（Ⅱ）證明：要證7（a_n-1）²＞3n+1，
即證7•4^n-1＞3n+1．
①當n=1時，7•4⁰=7＞3×1+1=4，不等式顯然成立；
②假設(shè)當n=k時，不等式7•4^k-1＞3k+1成立，
那么，當n=k+1時，7×4^k=4×7×4^k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1．
綜①②所述，對任意的n∈N^*，均有7•4^k-1＞3n+1，
∴7(an-1)2＞3n+1    (n∈N*)成立．
（Ⅲ）解：∵bn=an2=22n=4n，即數(shù)列{b_n}是首項為4，公比是4的等比數(shù)列．
∴Tn=

4(1-4n)

1-4

=

4

3

(4n-1)，

Tn+1+12

4Tn

=

4n+1+8

4(4n-1)

=1+

3

4n-1

，
又

4n+6

4n-1

=1+

7

4n-1

，
∴

Tn+1+12

4Tn

-

4n+6

4n-1

=

3

4n-1

-

7

4n-1

=

4(3n+1-7•4n-1)

(4n-1)(4n-1)

＜0．
∴對任意的n∈N^*均有

Tn+1+12

4Tn

＜

4n+6

4n-1

．

點評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了等比關(guān)系的確定，訓練了利用數(shù)學歸納法證明不等式，考查了等比數(shù)列的前n項和，訓練了作差法比較兩個數(shù)的大小，是難題．