Question

【題目】如圖，在三角形中，，，平面與半圓弧所在的平面垂直，點為半圓弧上異于的動點，為的中點.

（1）求證：；

（2）當三棱錐體積最大時，求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據平面與平面垂直的性質,可得;圓的性質,易得,利用直線與平面垂直的判定可知平面,即可證明.

（2）根據題意,可知三棱錐體積最大時,點處在半圓弧的中點.建立空間直角坐標系.求得平面與平面的法向量,利用法向量即可求得二面角夾角的余弦值.

（1）證明：因為平面與半圓所在的平面垂直,交線為,又,

所以垂直于半圓所在平面,

又在半圓面內,故,

又為直徑,點為半圓弧上一點,故,

且,因此平面,

又平面,所以；

（2）

三棱錐體積最大時,點處在半圓弧的中點,

建立如圖所示空間直角坐標系,由題意知,

則,

設平面的一個法向得為,

由,

令,則,

故,

設平面的一個法向量為,,

由,令,則,

故,

此時

由圖可知,二面角為銳二面角

所以二面角的余弦值為.