Question

【題目】已知圓，圓過(guò)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為（在第二象限）.

（1）求的正弦值；

（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作兩圓切線(xiàn)，若切線(xiàn)長(zhǎng)相等，求關(guān)系；

（3）是否存在定點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)有無(wú)數(shù)對(duì)相互垂直的直線(xiàn)滿(mǎn)足，且它們分別被圓、圓所截得的弦長(zhǎng)相等？若存在，求出所有的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在且其坐標(biāo)為或者.

【解析】

（1）連接，利用可求的正弦值.

（2）利用直線(xiàn)與圓相切求出過(guò)且與兩圓相切的切線(xiàn)長(zhǎng)，整理后可得所求的關(guān)系式.

（3）設(shè)的斜率為且，利用、分別被圓、圓所截得的弦長(zhǎng)相等且兩圓半徑相等得到對(duì)無(wú)窮多個(gè)恒成立，整理后可得關(guān)于的方程組，從而可求的坐標(biāo).

（1）連接，因?yàn)?/span>與相切于，故.

又，

在中，，故.

（2）因?yàn)檫^(guò)作兩圓的切線(xiàn)且切線(xiàn)長(zhǎng)相等，

故，整理得到，

故的關(guān)系為.

（3）設(shè)的斜率為且，

則，，

因?yàn)樗鼈兎謩e被圓、圓所截得的弦長(zhǎng)相等且兩圓半徑相等，

所以到直線(xiàn)的距離等于到直線(xiàn)的距離，

故即對(duì)無(wú)窮多個(gè)恒成立，

所以對(duì)無(wú)窮多個(gè)恒成立.

故，解得或者.

故存在且其坐標(biāo)為或者.