Question

6．已知非零實數m使不等式|x-m|+|x+2m|≥|m||log₂|m|對一切實數x恒成立．
（Ⅰ）求實數m的取值范圍M；
（Ⅱ）如果a，b∈M，求證：|$\frac{2a}{3}$+$\frac{4}$|＜8．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可令x=my，代入原不等式化簡整理，再由絕對值不等式的性質，可得（|y-1|+|y+2|）_min=3，再由對數函數的單調性，即可求得m的范圍；
（Ⅱ）運用絕對值不等式的性質，可得|$\frac{2a}{3}$+$\frac{4}$|≤|$\frac{2a}{3}$|+|$\frac{4}$|，結合（Ⅰ）的結論，計算即可得證．

解答 （Ⅰ）解：由題意可令x=my，
則原不等式即為|my-m|+|my+2m|≥|m|log₂|m|，
即有|y-1|+|y+2|≥log₂|m|，
則（|y-1|+|y+2|）_min≥log₂|m|，
由于|y-1|+|y+2|≥|（y-1）-（y+2）|=3，
即有（|y-1|+|y+2|）_min=3，
則log₂|m|≤3，解得|m|≤8，
又m≠0，
則有實數m的取值范圍M=[-8，0）∪（0，8]；
（Ⅱ）證明：a，b∈[-8，0）∪（0，8]，
即有0＜|a|≤8，0＜|b|≤8，
則|$\frac{2a}{3}$+$\frac{4}$|≤|$\frac{2a}{3}$|+|$\frac{4}$|
≤（$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{4}$）×8=$\frac{22}{3}$＜8．

點評 本題考查不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，主要考查絕對值不等式的性質的運用，同時考查對數不等式的解法，屬于中檔題和易錯題．