Question

已知函數(shù)f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），f′（x）為f（x）的導數(shù)．
（I）當a=-3時證明y=f（x）在區(qū)間（-1，1）上不是單調(diào)函數(shù)．
（II）設(shè)g(x)=

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x-

1

3

，是否存在實數(shù)a，對于任意的x₁∈[-1，1]存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在求出a的取值范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）證明y=f（x）在區(qū)間（-1，1）上不是單調(diào)函數(shù)，先求函數(shù)導函數(shù)，判斷導函數(shù)的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)不同號；
（2）令F（x）=f^′（x）+2ax，判斷是否存在實數(shù)a，對于任意的x₁∈[-1，1]存在x₂∈[0，2]，使得f'（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立，轉(zhuǎn)化成求g(x)=

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6

x-

1

3

在[0，2]內(nèi)的值域，然后使函數(shù)
F（x）的值域為g（x）值域的子集．

解答：解：（1）當a=3時，f（x）=x³+4x²-3x，f^′（x）=3x²+8x-3，由f^′（x）=0，即3x²+8x-3=0，得x₁=-3，x2=

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3

，
當-1＜x＜

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3

時，f^′（x）＜0，所以f（x）在（-1，

1

3

）上為減函數(shù)，在（

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3

，1）上導數(shù)為正，函數(shù)為增函數(shù)，
所以，f（x）在（-1，1）上不是單調(diào)函數(shù)．
（2）因為g（x）=

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6

x-

1

3

在[0，2]上為增函數(shù)，所以g（x）∈[-

1

3

，6]．
令F（x）=f^′（x）+2ax=3x²+2（1-a）x-a（a+2）+2ax=3x²+2x-a²-2a
若存在實數(shù)a，對于任意的x₁∈[-1，1]存在x₂∈[0，2]，使得f'（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立，則對任意x∈[-1，1]，有F(x)min≥-

1

3

，F(xiàn)（x）_max≤6．
對于函數(shù)F（x）=3x²+2x-a²-2a，F(x)min=F(-

1

3

)=3×(-

1

3

)2+2×(-

1

3

)-a2-2a=-a2-2a-

1

3

，F(xiàn)（x）_max=5-a²-2a．
聯(lián)立

-a2-2a- 1 3 ≥- 1 3 5-a2-2a≤6

解得：-2≤a≤0．

點評：本題（1）主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減；
（2）考查了導數(shù)的綜合運用，解答的關(guān)鍵是如何搭橋，把看似無關(guān)的兩個變量的取值問題，轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的值域之間的包含關(guān)系．