Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，直線l：y=3與C交于A、B兩點，l與y軸交于點N，且∠AFB=120°．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當0＜p＜6時，設(shè)C在點Q處的切線與直線l、x軸依次交于M、D兩點，以MN為直徑作圓G，過D作圓G的切線，切點為H，試探究；當點Q在C上移動（Q與原點不重合）時，線段DH的長度是否為定值？

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì),利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：探究型,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出拋物線的焦點和準線方程，運用拋物線的定義和直角三角形的性質(zhì)，對p討論，①當0＜p＜6時，②當p≥6時，列出方程，解得p即可；
（2）設(shè)出Q的坐標，求出y=

1

4

x²的導數(shù)，求出切線的斜率和切線方程，進而得到M，D的坐標，再求出圓G的圓心和半徑，結(jié)合切線的性質(zhì)和勾股定理，可得DH的長，化簡即可得到定值．

解答： 解：（1）拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，

p

2

），
準線方程為y=-

p

2

，
設(shè)直線y=3與y軸交于點N，即N（0，3），
①當0＜p＜6時，由拋物線的定義可得|FA|=3+

p

2

，|FN|=3-

p

2

，
由∠AFB=120°，則|FA|=2|FN|，
即有3+

p

2

=2（3-

p

2

），解得p=2，
即有拋物線的方程為x²=4y；
②當p≥6時，由拋物線的定義可得|FA|=3+

p

2

，|FN|=

p

2

-3，
由∠AFB=120°，則|FA|=2|FN|，
即有3+

p

2

=2（

p

2

-3），解得p=18，
即有拋物線的方程為x²=36y．
綜上可得，拋物線方程為x²=4y或x²=36y．
（2）當0＜p＜6時，拋物線方程為x²=4y，
設(shè)Q（m，

1

4

m²），y=

1

4

x²的導數(shù)為y′=

1

2

x，則有切線斜率為

1

2

m，
切線方程為y-

1

4

m²=

1

2

m（x-m），令y=0可得x=

1

2

m；令y=3可得x=

1

2

m+

6

m

．
即有M（

1

2

m+

6

m

，3），D（

1

2

m，0），
以MN為直徑作圓G，G（

1

4

m+

3

m

，3），設(shè)圓G的半徑為r，r=

1

2

|MN|=|

1

4

m+

3

m

|，
由DH⊥HG，由勾股定理可得|DH|=

|DG|2-r2

=

( 1 4 m- 3 m )2+32-( 1 4 m+ 3 m )2

=

9-2×2× 3 4

=

6

．
則有當點Q在C上移動（Q與原點不重合）時，線段DH的長度為定值，且為

6

．

點評：本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查直線和圓的位置關(guān)系，運用切線的性質(zhì)和函數(shù)的導數(shù)求切線方程是解題的關(guān)鍵．