Question

已知曲線，直線l：kx-y-k=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）討論曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)M，N，若，求曲線C的方程；
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)M，N，試問在曲線C上是否存在點(diǎn)Q，使得？若存在，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分a＜0 時(shí)，a=1 時(shí)，0＜a＜1 時(shí)，a＞1 時(shí)這四種情況分別討論．
（2）把直線l的方程代入曲線C的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式求出 a 的值．
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線，直線l：kx-y-k=0過曲線C的右頂點(diǎn)（1，0），不妨設(shè)為點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)N（x₂，y₂），把直線l的方程代入曲線C的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求得點(diǎn)N坐標(biāo)及k值，由，求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而得出結(jié)論．
解答：解：（1）對(duì)于曲線，當(dāng)a＜0 時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在x 軸上的雙曲線；
當(dāng)a=1 時(shí)，曲線表示單位圓；   當(dāng)0＜a＜1 時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓；
當(dāng)a＞1 時(shí)，曲線表示曲線表示焦點(diǎn)在y 軸上的橢圓．
（2）當(dāng)k=1時(shí)，直線l的方程為 y=x-1，代入曲線得，（a+1）x²-2x+1-a=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，由弦長公式得  = 
==，∴=1，
∴a=1．
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，曲線 即 C：x²-y²=1，表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線．
直線l：kx-y-k=0過曲線C的右頂點(diǎn)（1，0），不妨設(shè)為點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)N（x₂，y₂）．
把直線l：kx-y-k=0代入曲線C的方程得 （1-k²）x²+2k² x-k²-1=0，由題意知，1和x₂是此方程的兩個(gè)根，
△=4k⁴-4（1-k²）（-k²-1）＞0，∴1+x₂=-，1×x₂=，∴k=0．
∵，∴=（ 1+x₂，0+y₂）=（ 0，0）=（0，0）．
∴點(diǎn)Q （0，0），故點(diǎn)Q不在曲線C上，故不存在點(diǎn)Q滿足條件．
點(diǎn)評(píng)：本題考查方程表示的曲線，弦長公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的難點(diǎn)．