Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A（-1，1），B，C是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且△ABC為正三角形，則△ABC的高為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)B、C為直線y=kx+b（k＜0，b＞0）與y=的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組⇒kx²+bx-1=0．設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，結(jié)合△ABC為正三角形，可求得k及|AD|，從而可得答案．
解答：解：設(shè)B、C為直線y=kx+b（k＜0，b＞0）與y=的交點(diǎn)，
由得kx²+bx-1=0．設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，y₁+y₂=+==b，
設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則D（-，）．因?yàn)锳（-1，1），
依題意，k_AD•k_BC=-1，即•k=-1，由于k＜0，故1-k≠0，
∴b=（b＞0）．
∵|BC|=|x₁-x₂|=•=•=•
∴d_A-BC=|BC|，即=×|BC|=×2•，
即=ו，解得：k=．
∵b=＞0，
∴k=，k²=，
∴d_A-BC======2．
故△ABC的高為2．
故答案為：2．
點(diǎn)評：本題考查韋達(dá)定理與點(diǎn)到直線的距離公式，考查方程思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．