Question

17．△ABC中的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若$\sqrt{5}$b=4c，B=2C
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若c=5，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且BD=6，求△ADC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角的正弦公式、正弦定理求出cosC，由二倍角的余弦公式變形求出cosB的值；
（Ⅱ）由題意求出b的值，由余弦定理列出方程，化簡(jiǎn)后求出a的值，由條件求出CD的值，由cosC和平方關(guān)系求出sinC，代入三角形的面積公式求出△ADC的面積．

解答 解：（Ⅰ）由題意得B=2C，則sinB=sin2C=2sinCcosC，
又$\sqrt{5}$b=4c，所以cosC=$\frac{sinB}{2sinC}$=$\frac{2c}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
所以cosB=cos2C=2cos²C-1=$\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）因?yàn)閏=5，$\sqrt{5}$b=4c，所以b=$4\sqrt{5}$，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB
則80=a²+25-2×$5×\frac{3}{5}×$ a，
化簡(jiǎn)得，a²-6a-55=0，
解得a=11或a=-5（舍去），
由BD=6得，CD=5，
由cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以△ADC的面積S=$\frac{1}{2}•DC•AC•sinC$
=$\frac{1}{2}×5×4\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理，二倍角的正弦公式、余弦公式變形等，以及三角形的面積公式的應(yīng)用，考查方程思想，化簡(jiǎn)、計(jì)算能力．