Question

8．甲船在島A的正南B處，以4km/h的速度向正北航行，AB=10km，同時乙船自島A出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛去，當甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間為（　�。�

• A． $\frac{150}{7}$min
• B． $\frac{15}{7}$h
• C． 21.5 min
• D． 2.15 h

Answer 1

分析 兩船軌跡及距離最近時兩船連線構成一個以B島為頂點，120°的三角形，設距離最近時航行時間為t（h），此時距離s（km），此時甲船到B島距離為（10-4t）km，利用余弦定理，求出甲、乙兩船相距最近時，它們的航行時間．

解答 解：兩船軌跡及距離最近時兩船連線構成一個以B島為頂點，角度是120度的三角形，
設距離最近時航行時間為t（h），
此時距離s（km），
此時甲船到B島距離為（10-4t）km，
乙船距離B島6t（km）．
cos120°=$\frac{（6t）^{2}+（10-4t）^{2}-{s}^{2}}{2×6t×（10-4t）}$=-$\frac{1}{2}$，
化簡得：s²=28t²-20t+100，
拋物線開口朝上，
在對稱軸處s²有最小值，
s²取最小值時，t=-$\frac{-20}{2×28}$=$\frac{5}{14}$小時．即$\frac{150}{7}$min．
故選：A．

點評 本題考查解三角形問題在生產(chǎn)實際中的具體運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意余弦定理的靈活運用，考查計算能力，屬于中檔題．