Question

8．甲船在島A的正南B處，以4km/h的速度向正北航行，AB=10km，同時(shí)乙船自島A出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)�，�?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間為（　�。�

• A． $\frac{150}{7}$min
• B． $\frac{15}{7}$h
• C． 21.5 min
• D． 2.15 h

Answer 1

分析 兩船軌跡及距離最近時(shí)兩船連線構(gòu)成一個(gè)以B島為頂點(diǎn)，120°的三角形，設(shè)距離最近時(shí)航行時(shí)間為t（h），此時(shí)距離s（km），此時(shí)甲船到B島距離為（10-4t）km，利用余弦定理，求出甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們的航行時(shí)間．

解答 解：兩船軌跡及距離最近時(shí)兩船連線構(gòu)成一個(gè)以B島為頂點(diǎn)，角度是120度的三角形，
設(shè)距離最近時(shí)航行時(shí)間為t（h），
此時(shí)距離s（km），
此時(shí)甲船到B島距離為（10-4t）km，
乙船距離B島6t（km）．
cos120°=$\frac{（6t）^{2}+（10-4t）^{2}-{s}^{2}}{2×6t×（10-4t）}$=-$\frac{1}{2}$，
化簡(jiǎn)得：s²=28t²-20t+100，
拋物線開口朝上，
在對(duì)稱軸處s²有最小值，
s²取最小值時(shí)，t=-$\frac{-20}{2×28}$=$\frac{5}{14}$小時(shí)．即$\frac{150}{7}$min．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形問題在生產(chǎn)實(shí)際中的具體運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意余弦定理的靈活運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．