Question

若存在過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線與曲線y=x³和y=ax²+2x-9都相切，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)出所求切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程得到一個(gè)等式，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫(xiě)出切線的方程，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入又得到一個(gè)等式，聯(lián)立方程組即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切線的斜率，根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)和求出的斜率寫(xiě)出切線方程，再根據(jù)與y=ax²+2x-9都相切，聯(lián)立方程組，△=0可求出所求．

解答： 解：設(shè)直線與曲線y=x³的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則y₀=x₀³，

y0

x0-1

=3x02，則切線的斜率k=3x₀²=0或k=

27

4

，
若k=0，此時(shí)切線的方程為y=0，與y=ax²+2x-9聯(lián)立，消去y，可得ax²+2x-9=0，
其中△=0，即（2）²+36a=0，
解得a=-

1

9

；
若k=

27

4

，其切線方程為y=

27

4

（x-1），與y=ax²+2x-9聯(lián)立，消去y，可得ax²-

19

4

x-

9

4

=0，
又由△=0，解可得a=-

361

144

．
故a=-

1

9

或-

361

144

．
故答案為：-

1

9

或-

361

144

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)根據(jù)一點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫(xiě)出直線的方程，是一道綜合題．