Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，在數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，并判斷數(shù)列{T_n}的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）由于a_n是S_n與2的等差中項，可得2a_n=S_n+2，S_n-1=2a_n-1-2 兩式相減得a_n=2a_n-1 即數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，由于點P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上，可得b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2，利用等差數(shù)列的通項公式求解即可；
（2）c_n=a_n•b_n=2n•2n=n•2n+1，利用“錯位相減法”即可得出T_n，在有作差法判斷數(shù)列{T_n}的單調(diào)性

解答：解　（1）∵a_n是S_n與2的等差中項，
∴S_n+2=2a_n，
∴S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2 （n≥2，n∈N^*），
兩式相減得a_n=2a_n-1 （n≥2，n∈N^*），
即數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．
又∵a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列．
又b₁=1，∴b_n=2n-1．
（2）由（1）得，c_n=a_n•b_n=（2n-1）2ⁿ，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹．
兩式相減得-T_n=1×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
即-T_n=1×2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．

又，Tn+1-Tn=(2n-1)2n+2+6-(2n-3)2n+1-6=(2n+1)2n+1＞0 ∴Tn+1＞Tn∴{Tn}是遞增數(shù)列

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、“錯位相減法”、作差法比較大小、冪運算性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．