Question

某公園準備建一個摩天輪，摩天輪的外圍是一個周長為k米的圓．在這個圓上安裝座位，且每個座位和圓心處的支點都有一根直的鋼管相連．經(jīng)預算，摩天輪上的每個座位與支點相連的鋼管的費用為8k元/根，且當兩相鄰的座位之間的圓弧長為x米時，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個座位的總費用為[

(1024 x +20)x

100

+2]k元．假設座位等距離分布，且至少有兩個座位，所有座位都視為點，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價為y元．
（1）試寫出y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域；
（2）當k=100米時，試確定座位的個數(shù)，使得總造價最低？

Answer 1

分析：（1）由題意，總造價y中包括座位和圓心處的支點間的鋼管的費用，相鄰座位之間的鋼管與座位的費用，故只需算出座位的個數(shù)即知鋼管的個數(shù)，將兩項費用表示出來，相加即得y關于x的函數(shù)關系式；
（2）將k=100米代入函數(shù)關系式求出最值即得最低的總造價．

解答：解：（1）設摩天輪上總共有n個座位，則x=

k

n

即n=

k

x

，y=8k

k

x

+

k

x

[

(1024 x +20)x

100

+2]k=k2(

10

x

+

1024 x +20

100

)，
定義域{x|0＜x≤

k

2

，

k

x

∈Z}；（6分）
（2）當k=100時，令y=100(

1000

x

+1024

x

+20)f(x)=

1000

x

+1024

x

，
則f′(x)=-

1000

x2

+512

1

x

=

-1000+512x 3 2

x2

=0，
∴x

3

2

=

125

64

?x=(

125

64

)

2

3

=

25

16

，（10分）
當x∈(0，

25

16

)時，f′（x）＜0，即f（x）在x∈(0，

25

16

)上單調(diào)減，
當x∈(

25

16

，50)時，f′（x）＞0，即f（x）在x∈(

25

16

，50)上單調(diào)增，
y_min在x=

25

16

時取到，此時座位個數(shù)為

100

25 16

=64個．（15分）

點評：本題是常見的利用導數(shù)解決現(xiàn)實中造價最優(yōu)的一個應用題，審題與構造函數(shù)是重點，在求最值時要根據(jù)函數(shù)的形式選擇合適的方法．