Question

設(shè)G為△ABC的重心，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若35a

GA

+21b

GB+

15c

GC

=0，則sin∠ABC

5 3

14

．

Answer 1

分析：根據(jù)G為三角形ABC的重心，得到

GA

+

GB

+

GC

=0，表示出

GC

，代入已知等式中，整理后根據(jù)

GA

，

GB

不共線，用c表示出a與b，利用余弦定理表示出cos∠ABC，將表示出的a，b，c代入求出cos∠ABC的值，再由∠ABC為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin∠ABC的值即可．

解答：解：∵G為△ABC的重心，
∴

GA

+

GB

+

GC

=0，即

GC

=-

GA

-

GB

，
代入已知等式整理得：（35a-15c）

GA

+（21b-15c）

GB

=0，
∵

GA

，

GB

不共線，
∴35a-15c=0，21b-15c=0，即a=

3

7

c，b=

5

7

c，
設(shè)c=7t，則a=3t，b=5t，
根據(jù)余弦定理得：cos∠ABC=

a2+c2-b2

2ac

=

9t2+49t2-25t2

2×3t×7t

=

11

14

，
∵∠ABC為三角形的內(nèi)角，
∴sin∠ABC=

1-cos2∠ABC

=

1-( 11 14 )2

=

5 3

14

．
故答案為：

5 3

14

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的基本定理及其意義，以及向量的共線定理，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．