Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x-

3

cos2x+1
（1）求f（x）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-m=2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，易得周期，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

可得單調(diào)區(qū)間；（2）由x∈[

π

4

，

π

2

]可得f（x）∈[2，3]，可得（2+m）∈[2，3]，由不等式可得結(jié)論．

解答： 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1，
∴f（x）的周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[

1

2

，1]，∴f（x）∈[2，3]
∵關(guān)于x的方程f（x）-m=2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，
∴（2+m）∈[2，3]，∴m∈[0，1]
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：[0，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和值域，屬基礎(chǔ)題．