Question

已知圓：交軸于兩點(diǎn)，曲線是以為長軸，直線：為準(zhǔn)線的橢圓．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是直線上的任意一點(diǎn)，以為直徑的圓與圓相交于兩點(diǎn)，求證：直線必過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖所示，若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，試求此時弦的長．

Answer 1

同下

解析:

（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則：

，從而：，故,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。……4分

（Ⅱ）設(shè)，則圓方程為 與圓聯(lián)立消去得的方程為，                              

   過定點(diǎn)。                ………………8分 

（Ⅲ）解法一：設(shè)，則,………①

，，即：        

代入①解得：（舍去正值），       ，所以，

從而圓心到直線的距離，

從而。         …………………16分

解法二：過點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，設(shè)的傾斜角為，則：

，從而，  

由得：，，故，

由此直線的方程為，以下同解法一。              

解法三：將與橢圓方程聯(lián)立成方程組消去得：,設(shè)，則。

，，所以代入韋達(dá)定理得：

，                                            

消去得：，，由圖得：，              

所以，以下同解法一。