Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a2

x

-3，g(x)=x+lnx，其中a＞0，F(xiàn)(x)=f(x)+g(x)．
（1）若x=

1

2

是函數(shù)，y=F（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率k≤

5

2

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）在[1，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出F(x)=2x+

a2

x

+lnx-3及其導(dǎo)數(shù)F′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

（1）x=

1

2

是函數(shù)，y=F（x）的極值點(diǎn)，故F′(

1

2

)=0由此方程求a即可
（2）函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率k≤

5

2

恒成立，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，此條件可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在x∈（0，3]的最大值小于等于

5

2

，
（3）可將函數(shù)在[1，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程有兩個(gè)根，分離出參數(shù)a，得到a²=-x²+3x在x∈[1，2]上有兩個(gè)不等實(shí)根，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得-x²+3x在x∈[1，2]上的值域，根據(jù)函數(shù)的圖象即可得到參數(shù)a所滿足的條件2≤a2＜

9

4

，a＞0，解之即得所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答：解：F(x)=2x+

a2

x

+lnx-3，F′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

（2分）
（1）F′(

1

2

)=4-4a2=0且a＞0，∴a=1（4分）
（2）F′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

≤

5

2

對(duì)任意的x∈（0，3]恒成立（5分）
∴2a²≥-x²+2x對(duì)任意的x∈（0，3]恒成立，
∴2a²≥（-x²+2x）_max，而當(dāng)x=1時(shí)，-x²+2x=-（x-1）²+1取最大值為1，
∴2a²≥1，且a＞0，∴a≥

2

2

（8分）
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+

a2

x

-3在[1，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以方程a²=-x²+3x在x∈[1，2]上有兩個(gè)不等實(shí)根（a＞0）（10分）
又因?yàn)楹瘮?shù)y=-x2+3x=-(x-

3

2

)2+

9

4

在x∈[1，2]內(nèi)的值域?yàn)?span id="qxdrajg" class="MathJye">[2，

9

4

]（12分）
由函數(shù)圖象可得：2≤a2＜

9

4

，a＞0，所以：

2

≤a＜

3

2

，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

2

，

3

2

)（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了求導(dǎo)的運(yùn)算，極值存在的條件，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化靈活，能答題者觀察轉(zhuǎn)化的能力要求較高．